Topologie/Überlagerungen/Disjunkte Vereinigung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\{U_{\alpha }\subseteq X_{1}\}_{\alpha \in A}$ eine Elementar-Überdeckung für ${}p_{1}$, mit topologischen Äquivalenzen

${}\phi _{\alpha }\colon p_{1}^{-1}(U_{\alpha }){\xrightarrow {\cong }}U_{\alpha }\times F_{\alpha }\,,$

und analog

${}\{V_{\beta }\subseteq X_{2}\}_{\beta \in B}$ eine Elementar-Überdeckung für ${}p_{2}$, mit topologischen Äquivalenzen

${}\psi _{\beta }\colon p_{2}^{-1}(V_{\beta }){\xrightarrow {\cong }}V_{\beta }\times G_{\beta }\,.$

Dann ist

${}\{U_{\alpha }\subseteq X_{1}\subseteq X_{1}\coprod X_{2}\}\cup \{V_{\beta }\subseteq X_{2}\subseteq X_{1}\coprod X_{2}\}_{\beta \in B}\,$

eine Elementar-Überdeckung für ${}p_{1}\coprod p_{2}$, denn die Abbildungen

${}\phi _{\alpha }\colon (p_{1}\coprod p_{2})^{-1}(U_{\alpha })=p_{1}^{-1}(U_{\alpha }){\xrightarrow {\cong }}U_{\alpha }\times F_{\alpha }\quad \psi _{\beta }\colon (p_{1}\coprod p_{2})^{-1}(V_{\beta })=p_{2}^{-1}(V_{\beta })\to ^{\cong }V_{\beta }\times G_{\beta }\,$

sind nach wie vor topologische Äquivalenzen. Also ist ${}p_{1}\coprod p_{2}$ eine Überlagerung.

Es sei nun ${}X_{1}=X_{2}=X$. Die offene Überdeckung

${}\{U_{\alpha }\cap V_{\beta }\subseteq X\}_{(\alpha ,\beta )\in A\times B}\,$

ist eine Elementar-Überdeckung. Denn es ist

${}(p_{1}\cup p_{2})^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })=p_{1}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\coprod p_{2}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\,.$

Die Einschränkungen von ${}\phi _{\alpha }$ und ${}\psi _{\beta }$ auf ${}U_{\alpha }\cap V_{\beta }$ definieren eine topologische Äquivalenz

${}(p_{1}\cup p_{2})^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })=p_{1}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\coprod p_{2}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\to (U_{\alpha }\cap V_{\beta })\times F_{\alpha }\coprod (U_{\alpha }\cap V_{\beta })\times G_{\beta }\cong (U_{\alpha }\cap V_{\beta })\times (F_{\alpha }\coprod G_{\beta })\,,$

wobei die durch ${}\cong$ symbolisierte topologische Äquivalenz leicht einzusehen ist. Es folgt, dass ${}p_{1}\cup p_{2}$ eine Überlagerung ist.

Zur bewiesenen Aussage