Topologie/Überlagerungen/Existenz von Überlagerungen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Menge aus einer Spezialüberdeckung. Dann gibt es eine topologische Äquivalenz ${}q\colon q^{-1}(U)\cong U\times \pi _{1}(X,x_{0})$. Die Gruppe ${}\pi _{1}(X,x_{0})$ operiert auf ${}q^{-1}(U)$ durch Decktransformationen und auf ${}U\times \pi _{1}(X,x_{0})$ durch Multiplikation auf dem zweiten Faktor. Die topologische Äquivalenz ${}\phi$ ist kompatibel mit diesen Operationen, also eine topologische Äquivalenz von ${}\pi _{1}(X,x_{0})$-Räumen. Es folgt, dass

${}p^{-1}(U)=r{\bigl (}q^{-1}(U){\bigr )}\cong U\times \pi _{1}(X,x_{0})/H\,,$

was im Wesentlichen zeigt, dass ${}p$ eine Überlagerung von ${}X$ ist. Die zweite Aussage folgt aus obigem Satz.

Zur bewiesenen Aussage