Topologie/Überlagerungen/Lokaler Wegzusammenhang/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}e\in V\subseteq E$ eine Umgebung. Es sei weiter ${}U\subseteq X$ eine offene Menge einer Elementar-Überdeckung, sowie ${}\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times p^{-1}(p(e))$ eine topologische Äquivalenz. Dann ist ${}e\in V^{\prime }:=V\cap \phi ^{-1}(U\times \{e\})$ auch eine Umgebung. Aus Fakt folgt, dass ${}p(e)\in p(V^{\prime })\subseteq X$ ebenfalls eine Umgebung ist. Es sei nun ${}p(e)\in W\subseteq p(V^{\prime })$ eine weg-zusammenhängende Umgebung. Es ist ${}W\subseteq U$, also ist ${}e\in \phi ^{-1}(W\times \{e\})\subseteq V$ die gesuchte weg-zusammenhängende Umgebung von ${}e\in E$.

Zur bewiesenen Aussage