Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es ist hilfreich, die Äquivalenzrelation einmal explizit hinzuschreiben. Es gilt: ein Paar ist genau dann in der Äquivalenzrelation enthalten, wenn

  1. , oder
  2. , oder
  3. , oder

gilt. Man sieht dann sofort die Injektivität der beiden Abbildungen, und auch die letzte Aussage. (Die Abbildung muss nicht injektiv sein.) Ist irgendeine Teilmenge, so ist

Insbesondere ist in abgeschlossen genau dann, wenn in abgeschlossen ist, also ist eine abgeschlossene Einbettung. Ist irgendeine Teilmenge, so ist

Somit ist offen in genau dann, wenn offen ist in , also ist eine offene Einbettung.

Zur bewiesenen Aussage