Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen metrischer Räume/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei zunächst stetig und offen in . Es ist zu zeigen, dass offen ist in . Ist die leere Menge, die ja immer offen ist, ist nichts zu zeigen. Sei also und , also . Da offen ist, gibt es eine Umgebung von . Weil stetig ist in , existiert eine Umgebung von mit

Insbesondere ist eine Umgebung von in . Somit ist offen in .

Sei nun das Urbild unter einer jeden offenen Menge wieder offen. Um die Stetigkeit von nachzuweisen, sei und eine offene Kugel um . Dies ist eine in offene Menge. Das Urbild ist also offen in . Da ja , gibt es ein mit . Anders ausgedrückt: Es gilt

was die Stetigkeit von in liefert.

Zur bewiesenen Aussage