Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen metrischer Räume/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}f$ stetig und ${}U\subseteq Y$ offen in ${}(Y,e)$. Es ist zu zeigen, dass ${}f^{-1}(U)$ offen ist in ${}(X,d)$. Ist ${}f^{-1}(U)$ die leere Menge, die ja immer offen ist, ist nichts zu zeigen. Es sei also ${}f^{-1}(U)\neq \emptyset$ und ${}x\in f^{-1}(U)$, also ${}f(x)\in U$. Da ${}U$ offen ist, gibt es eine Umgebung ${}W\subseteq U$ von ${}f(x)$. Weil ${}f$ stetig ist in ${}x$, existiert eine Umgebung ${}V$ von ${}x$ mit

${}f(V)\subseteq W\,.$

Insbesondere ist ${}V\subseteq f^{-1}(W)\subseteq f^{-1}(U)$ eine Umgebung von ${}x$ in ${}f^{-1}(U)$. Somit ist ${}f^{-1}(U)$ offen in ${}(X,d)$.

Es sei nun das Urbild unter ${}f$ einer jeden offenen Menge wieder offen. Um die Stetigkeit von ${}f$ nachzuweisen, sei ${}x\in X,\,\epsilon >0$ und ${}U(f(x),\epsilon )\subseteq Y$ eine offene Kugel um ${}f(x)$. Dies ist eine in ${}(Y,e)$ offene Menge. Das Urbild ${}f^{-1}{\bigl (}U(f(x),\epsilon ){\bigr )}$ ist also offen in ${}(X,d)$. Da ja ${}x\in f^{-1}{\bigl (}U(f(x),\epsilon ){\bigr )}$, gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}U(x,\delta )\subseteq f^{-1}{\bigl (}U(f(x),\epsilon ){\bigr )}$. Anders ausgedrückt: Es gilt

${}f{\bigl (}U(x,\delta ){\bigr )}\subseteq U(f(x),\epsilon )\,$

was die Stetigkeit von ${}f$ in ${}x\in X$ liefert.

Zur bewiesenen Aussage