Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}U\in \theta$. Es ist zu zeigen, dass ${}(g\circ f)^{-1}(U)\in \tau$. Nun ist aber

${}(g\circ f)^{-1}(U)=f^{-1}{\bigl (}g^{-1}(U){\bigr )}\,$

und ${}g^{-1}(U)\in \omega$, weil ${}g$ stetig ist. Also ist ${}f^{-1}{\bigl (}g^{-1}(U){\bigr )}\in \tau$, weil ${}f$ stetig ist.

Da ${}\mathrm {id} ^{-1}(U)=U\,\forall \,U\subseteq X$ folgt die Aussage über die Identität.

Zur bewiesenen Aussage