Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Fakt/Beweis

Beweis

Eine Implikation folgt sofort, da die Komposition stetiger Abbildungen wieder stetig ist nach Fakt. Es sei also ${}i_{Y}\circ f$ stetig. Es ist zu zeigen, dass ${}f$ stetig ist. Es sei also ${}U\in \tau _{Y}$. Nach Definition der Unterraumtopologie gibt es ${}V\in \tau$ mit ${}V\cap Y=U$. Nun ist aber

${}V\cap Y=i_{Y}^{-1}(V)\,$

also ist nach Voraussetzung

${}f^{-1}(U)=f^{-1}(V\cap Y)=f^{-1}{\bigl (}i_{Y}^{-1}(V){\bigr )}=(i_{Y}\circ f)^{-1}(V)\in \theta \,.$

Zur bewiesenen Aussage