Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Einpunktvereinigung/Beispiel

Es sei ${}S^{1}\vee S^{1}$ die Einpunkt-Vereinigung von zwei Kopien der ${}S^{1}$, punktiert an ${}1\in S^{1}$. Es sei ${}U=S^{1}\vee (S^{1}\smallsetminus \{-1\}),\,V=(S^{1}\smallsetminus \{-1\})\vee S^{1}$. Dann sind ${}U,V$ homotopieäquivalent zu ${}S^{1}$, also wegzusammenhängend. Und ${}U\cap V$ ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Nach dem Satz von Seifert-van Kampen ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

${}\Phi \colon \pi _{1}(U)\star \pi _{1}(V)\cong \pi _{1}(S^{1})\star \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} \star \mathbb {Z} \to \pi _{1}(S^{1}\vee S^{1})\,$

also surjektiv. Da nur zwei offene Mengen in der Überdeckung auftauchen, ist die Bedingung an dreifache Schnitte automatisch erfüllt, und der Kern von ${}\Phi$ ist nach dem Satz von Seifert-van Kampen erzeugt durch Äquivalenzklassen von Wörtern, deren Elemente aus der trivialen Gruppe ${}\pi _{1}(U\cap V)$ stammen, also selbst trivial. Somit ist ${}\Phi$ auch injektiv, und demnach ein Isomorphismus. Die Fundamentalgruppe von ${}S^{1}\vee S^{1}$ ist somit die überaus reichhaltige freie Gruppe auf zwei Erzeugern.

Das Argument läßt sich auf eine Einpunkt-Vereinigung von beliebig vielen wegzusammenhängenden und lokal zusammenziehbaren Räumen anwenden.