Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Fakt

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, der durch weg-zusammenhängende offene Teilmengen ${}\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ überdeckt ist. Es sei ${}x_{0}\in \bigcap _{\alpha \in A}U_{\alpha }$ der Basispunkt.

1. Ist ${}U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ wegzusammenhängend für alle ${}\alpha \neq \beta$, so ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

   ${}\Phi \colon \star _{\alpha \in A}\pi _{1}(U_{\alpha })\to \pi _{1}(X)\,$

   surjektiv.
2. Ist ${}U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }$ wegzusammenhängend für alle ${}\alpha ,\beta ,\gamma$, so ist der Kern von ${}\Phi$ die normale Untergruppe, die von Elementen der Form

   ${}i^{\alpha \beta }(g)i^{\beta \alpha }(g^{-1}),\quad \alpha ,\beta \in A,\quad g\in \pi _{1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\,$

   erzeugt ist. Hierbei ist ${}i^{\alpha \beta }\colon U_{\alpha }\cap U_{\beta }\hookrightarrow U_{\alpha }$

   die kanonische Einbettung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen