Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Fakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum, der durch weg-zusammenhängende offene Teilmengen $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ überdeckt ist. Es sei $x_0\in \bigcap _{\alpha \in A}{U}_{\alpha }$ der Basispunkt.

1. Ist $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ wegzusammenhängend für alle $\alpha \ne \beta$, so ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

   $\Phi :{\star }_{\alpha \in A}{\pi }_1(U_{\alpha })\to {\pi }_1(X)$

   surjektiv.
2. Ist $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }$ wegzusammenhängend für alle $\alpha ,\beta ,\gamma$, so ist der Kern von $\Phi$ die normale Untergruppe, die von Elementen der Form

   $i^{\alpha \beta }(g)i^{\beta \alpha }(g^{-1}),\alpha ,\beta \in A,g\in {\pi }_1(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$

   erzeugt ist. Hierbei ist $i^{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\hookrightarrow U_{\alpha }$

   die kanonische Einbettung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen