Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}f\colon I\to X$ eine Schleife an ${}x_{0}$. Dann gibt es eine Unterteilung ${}0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=1$ des Intervalls ${}I$ derart, dass ${}f([t_{i-1},t_{i}])\subseteq U_{\alpha (i)}=\colon U_{i}$. Insbesondere ist ${}f(t_{i})\in U_{i}\cap U_{i+1}$. Verbinde ${}f(t_{i})$ mit ${}x_{0}$ über einen Weg ${}w_{i}$, der ganz in ${}U_{i}\cap U_{i+1}$ liegt. Dann ist ${}f$ homotop relativ ${}\{0,1\}$ zu der Schleife, die durch Einfügen von ${}w_{i}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{i}}}$ an jeder Stelle ${}t_{i}$ entsteht. Letztere ist im Bild der kanonischen Abbildung ${}\Phi$.

Es sei nun ${}a=a_{1}a_{2}\dots a_{k}$ ein Wort im Alphabet ${}\coprod _{\alpha \in A}\pi _{1}U_{\alpha }$, also ${}a_{i}=[f_{i}]$, wobei ${}f_{i}$ Schleife in ${}U_{i}$ an ${}x_{0}$. Es sei ${}\Phi (a)=1\in \pi _{1}X$, und wähle eine Nullhomotopie ${}F\colon I\times I\to X$. Wegen der Kompaktheit von ${}I\times I$ existiert eine Zerlegung von ${}I\times I$ in Rechtecke ${}R_{ij}$ derart, dass

1. ${}\forall \,ij\,\exists \,\alpha (ij)\in A\colon F(R_{ij})\subseteq U_{\alpha (ij)}$,
2. jeder Punkt aus ${}I\times I$ in höchstens dreien dieser Rechtecke liegt und
3. die durch die Rechtecke ${}R_{11},R_{21},\dots ,R_{m1}$ gegebene Unterteilung von ${}I\times \{0\}$ feiner ist als die Unterteilung, die durch ${}f\colon =f_{1}{\scriptscriptstyle {\Box }}\dots {\scriptscriptstyle {\Box }}f_{k}$ gegeben ist.

Jeder Weg in ${}I\times I$ von einem Punkt ${}(0,t)$ zu einem Punkt ${}(1,t^{\prime })$ liefert eine Schleife in ${}X$ an ${}x_{0}$, nach Komposition mit ${}F$. Es sei ${}p(ij)$ der Weg, der die Rechtecke ${}R_{i'j'}$ mit ${}i'j'<ij$ (lexikographische Ordnung) von den übrigen trennt. Um aus jedem Weg ${}p(ij)$ ein Wort im Alphabet ${}\coprod _{\alpha \in A}\pi _{1}U_{\alpha }$ zu erhalten, wähle zu jeder Ecke ${}v$ in der Unterteilung von ${}I\times I$ mit ${}F(v)\neq x_{0}$ einen Weg ${}w_{v}$ von ${}F(v)$ zu ${}x_{0}$, der

1. ganz im Schnitt der drei ${}U_{\alpha }$'s liegt, die ${}F(v)$ enthalten, sofern ${}v$ im Innern von ${}I\times I$ liegt, oder,
2. falls ${}v\in I\times \{0\}$, im Schnitt der zwei ${}U_{\alpha }$'s, die ${}F(v)$ enthalten, mit dem ${}U_{\alpha }$, welches ${}f_{i}(v)$ enthält, liegt.

Einfügen von ${}{w_{v}}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{v}}}$ an der Stelle ${}v$ liefert einen zu dem Weg ${}F\circ p(ij)$ homotopen Weg. Diesen Weg kann man auf verschiedene Arten als Wort im Alphabet ${}\coprod _{\alpha \in A}\pi _{1}U_{\alpha }$ interpretieren. Die Variation besteht darin, ein Teilstück, welches ja nach Konstruktion nach ${}U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ abgebildet wird, einmal als Weg in ${}U_{\alpha }$ oder als Weg in ${}U_{\beta }$ aufzufassen. Der durch ${}p(ij)$ bestimmte Weg ist homotop zu seinem Nachfolger, wobei die Homotopie gerade in ${}U_{\alpha (ij)}$ liegt - sie ist durch das Rechteck ${}R_{ij}$ gegeben. Es folgt, dass der vorgegebene Weg im beschriebenen Normalteiler liegt.

Zur bewiesenen Aussage