Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Nichtorientierbare Flächen/Beispiel

Auch nichtorientierbare Flächen lassen sich mit Satz von Seifert-van Kampen verarzten. Es sei etwa ${}\mathbb {RP} ^{2}$ gegeben als Quotientenraum von ${}I\times I$ gemäß folgenden Identifikationen:

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Die Fundamentalgruppe ist - wie wir schon wissen - die Gruppe erzeugt von der Schleife ${}BA$ mit der Relation ${}(BA)^{2}=1$. Die [[[w:en:Klein_bottle|Klein'sche Flasche]]] ist Quotientenraum von ${}I\times I$ gemäß folgenden Identifikationen:

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Die Fundamentalgruppe der Klein'schen Flasche ist die Gruppe erzeugt von den Schleifen ${}A,B$ mit der Relation ${}ABAB^{-1}=1$. Jede andere nichtorientierbare Fläche erhält man aus der reell projektiven Ebene bzw. der Klein'schen Flasche, indem man Henkel anklebt.