Es sei
der Torus, offen überdeckt durch
und eine kleine offene Kugel
um
. Dann ist
homotopieäquivalent zu
, also wegzusammenhängend, und
ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Der Schnitt
ist homotopieäquivalent zu
, demnach ist der Satz von Seifert-van Kampen anwendbar. Der kanonische Gruppenhomomorphismus
-

ist also surjektiv. Da nur zwei offene Mengen in der Überdeckung auftauchen, ist die Bedingung an dreifache Schnitte automatisch erfüllt, und der Kern von
ist nach dem Satz von Seifert-van Kampen erzeugt durch Äquivalenzklassen von Wörtern, deren Elemente aus der Gruppe
stammen. Nun reicht es offensichtlich, ein erzeugendes Element von
zu betrachten. Das Bild in
ist natürlich trivial, und das Bild in
ist das Produkt
, wenn den die Erzeuger
passend gewählt sind. Der Kern von
ist also gerade der Kommutator, und die Fundamentalgruppe von
ist isomorph zur freien abelschen Gruppe auf zwei Erzeugern.