Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Torus/Beispiel

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Sei der Torus, offen überdeckt durch und eine kleine offene Kugel um . Dann ist homotopieäquivalent zu , also wegzusammenhängend, und ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Der Schnitt ist homotopieäquivalent zu , demnach ist der Satz von Seifert-van Kampen anwendbar. Der kanonische Gruppenhomomorphismus

ist also surjektiv. Da nur zwei offene Mengen in der Überdeckung auftauchen, ist die Bedingung an dreifache Schnitte automatisch erfüllt, und der Kern von ist nach dem Satz von Seifert-van Kampen erzeugt durch Äquivalenzklassen von Wörtern, deren Elemente aus der Gruppe stammen. Nun reicht es offensichtlich, ein erzeugendes Element von zu betrachten. Das Bild in ist natürlich trivial, und das Bild in ist das Produkt , wenn den die Erzeuger passend gewählt sind. Der Kern von ist also gerade der Kommutator, und die Fundamentalgruppe von ist isomorph zur freien abelschen Gruppe auf zwei Erzeugern.