Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Torus/Beispiel

Es sei ${}S^{1}\times S^{1}$ der Torus, offen überdeckt durch ${}U=S^{1}\times S^{1}\smallsetminus \{1,1\}$ und eine kleine offene Kugel ${}V$ um ${}(1,1)\in S^{1}\times S^{1}$. Dann ist ${}U$ homotopieäquivalent zu ${}S^{1}\vee S^{1}$, also wegzusammenhängend, und ${}V$ ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Der Schnitt ${}U\cap V$ ist homotopieäquivalent zu ${}S^{1}$, demnach ist der Satz von Seifert-van Kampen anwendbar. Der kanonische Gruppenhomomorphismus

${}\Phi \colon \pi _{1}(U)\star \pi _{1}(V)\cong \pi _{1}(S^{1}\vee S^{1})\star \pi _{1}(\ast )\cong \mathbb {Z} \star \mathbb {Z} \to \pi _{1}(S^{1}\times S^{1})\,$

ist also surjektiv. Da nur zwei offene Mengen in der Überdeckung auftauchen, ist die Bedingung an dreifache Schnitte automatisch erfüllt, und der Kern von ${}\Phi$ ist nach dem Satz von Seifert-van Kampen erzeugt durch Äquivalenzklassen von Wörtern, deren Elemente aus der Gruppe ${}\pi _{1}(U\cap V)$ stammen. Nun reicht es offensichtlich, ein erzeugendes Element von ${}\pi _{1}(U\cap V)\cong \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$ zu betrachten. Das Bild in ${}\pi _{1}(V)$ ist natürlich trivial, und das Bild in ${}\pi _{1}(U)\cong \mathbb {Z} \star \mathbb {Z}$ ist das Produkt ${}aba^{-1}b^{-1}$, wenn den die Erzeuger ${}a,b\in \pi _{1}(U)$ passend gewählt sind. Der Kern von ${}\Phi$ ist also gerade der Kommutator, und die Fundamentalgruppe von ${}S^{1}\times S^{1}$ ist isomorph zur freien abelschen Gruppe auf zwei Erzeugern.