Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Stetiger Weg/Auswertung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es sei ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ eine gewählte topologische Kette um den Weg. Die Auswertung ist zunächst einmal unabhängig von der Wahl der Punkte ${}P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$, da der Ausschnitt des Weges zusammenhängend ist. Es sei ${}U_{s}$ eine zusätzliche offene Umgebung ${}U_{s}$ (aus der Überdeckung), die ${}\gamma ([0,1])$ trifft, und mit der wir die Kette erweitern wollen. Es sei ${}U_{s}\cap V_{k}\cap \gamma ([0,1])\neq \emptyset$. Bei ${}U_{s}\cap V_{k}\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])=\emptyset$ können wir die Kette zu ${}\ldots V_{k},U_{s},V_{k},V_{k+1},\ldots$ abändern. Für die beiden Übergänge können wir den gleichen Punkt wählen und erhalten den gleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen (da sich die Reihenfolge des Überganges ändert), was sich weghebt. Es sei nun ${}U_{s}\cap V_{k}\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])\neq \emptyset$. Wir betrachten die abgeänderte Kette ${}V_{1},\ldots ,V_{k}=U_{r},U_{s},V_{k+1}=U_{t},\ldots ,V_{n}$ Wir können davon ausgehen, dass ${}P_{k}$ zu den drei Mengen gehört. Die Gesamtänderung der Auswertung bei dieser Abänderung ist dann

   ${}-f_{r,t}(P_{k})+f_{r,s}(P_{k})+f_{s,t}(P_{k})=0\,.$

   In dieser Weise können wir sukzessive von jeder Kette zu jeder Kette übergehen. Wenn man die Klasse durch eine andere Überdeckung repräsentiert, so kann man annehmen, dass es sich um eine Verfeinerung (im Sinne von es kommen offene Mengen hinzu) handelt und dann wie soeben schließen.

2. Ist klar.
3. Ist klar.
4. Ist klar.
5. Folgt aus Fakt.
6. Es seien ${}\gamma$ und ${}\gamma '$ homotope Wege mit dem gleichen Start- und Zielpunkt und sei

   $H\colon [0,1]\times [0,1]\longrightarrow X$

   eine Homotopie zwischen den Wegen. D.h. ${}H$ ist stetig und eingeschränkt auf den linken Rand des Quadrates gleich ${}\gamma$ und eingeschränkt auf den rechten Rand gleich ${}\gamma '$. Wegen der Kompaktheit von ${}[0,1]\times [0,1]$ besitzt die offene Überdeckung ${}H^{-1}(U_{i})$, ${}i\in I$, eine endliche Teilüberdeckung. Daher gibt es auch eine Gittereinteilung des Quadrates in ${}m\cdot m$ Teilquadrate der Seitenlänge ${}{\frac {1}{m}}$ derart, dass sie ganz in einem der ${}H^{-1}(U_{i})$ liegen. Es ist also stets

   ${}H([{\frac {r}{m}},{\frac {r+1}{m}}]\times [{\frac {s}{m}},{\frac {s+1}{m}}])\subseteq U_{i}\,.$

   Wir verkleinern nochmal die Teilquadrate, um sicherzustellen, dass benachbarte Quadrat in einer der offenen Mengen landen. Um die Gleichheit zwischen ${}\int _{\gamma }z$ und ${}\int _{\gamma '}z$ zu zeigen, können wir sukzessive Wege auf einem einzigen kleinen Quadrat abändern. Wir betrachten Wege der Form

   ${}\delta _{r,s}(t)={\begin{cases}H({\frac {r}{m}},t){\text{ für }}t<{\frac {s}{m}}\,,\\H({\frac {r}{m}}+t-{\frac {s}{m}},t){\text{ für }}{\frac {s}{m}}\leq t\leq {\frac {s+1}{m}}\,,\\H({\frac {r+1}{m}},t){\text{ für }}t>{\frac {s+1}{m}}\,,\end{cases}}\,$

   und den Übergang von ${}\delta _{r,s}$ nach ${}\delta _{r,s+1}$. Es sei ${}U_{i}$ die offene Umgebung, in der das Rechteck ${}[{\frac {r}{m}},{\frac {r+1}{m}}]\times [{\frac {s}{m}},{\frac {s+2}{m}}]$ landet, in dem sich die Abänderung des Weges abspielt. Diese offene Umgebung können wir als Teil einer topologischen Kette ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ nehmen mit ${}V_{k}=U_{i}$, die beide Wege umfasst. Da ${}V_{k}\cap V_{k+1}\cap \delta _{r,s}([0,1])$ und ${}V_{k}\cap V_{k+1}\cap \delta _{r,s+1}([0,1])$ Punkte gemeinsam haben und da eine einfache Wegverzweigung zusammenhängend ist, stimmen beide Auswertungen überein. Durch eine endlich Anzahl solcher kleinen Abwandlungen können wir ${}\gamma$ in ${}\gamma '$ überführen.

Zur bewiesenen Aussage