Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Stetiger Weg/Auswertung/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei ${}z\in {\check {Z}}^{1}(X,{\mathbb {K} })$ ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf ${}X$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$, der durch ${}f_{ij}$ zur Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit ${}U_{i}$ zusammenhängend repräsentiert sei. Es sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger Weg. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Auswertung ${}\int _{\gamma }z$ ist wohldefiniert.
2. Die Auswertung ist linear im Kozykel.
3. Die Auswertung ist additiv bezüglich der Verknüpfung von Wegen.
4. Wenn man den Weg in umgekehrter Richtung durchläuft, so negiert sich die Auswertung.
5. Für einen geschlossenen Weg und einen Kozykel, der die triviale Kohomologieklasse repräsentiert, ist ${}\int _{\gamma }z=0$.
6. Die Auswertung hängt nur von der Homotopieklasse des Weges ab.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen