Topologischer Filter/Nichtzugehörigkeit/Ultrafilter/Aufgabe/Lösung

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  1. Sei

    Zu ist

    und daher ist

    und insbesondere ist . Zu gibt es mit

    und diese Bedingung wird auch von jedem erfüllt, also ist auch . Zu gibt es mit

    und

    Daraus ergibt sich

    und wegen ist . Somit ist ein Filter. Wegen und

    ist . Angenommen . Dann gibt es mit

    und dann ist insbesondere , also im Widerspruch zur Voraussetzung.

  2. Zu dem in Teil (1) gegebenen Filter gibt es nach Fakt einen Ultrafilter mit . Wegen ist , da sonst auch

    wäre.

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