Topologischer Filter/Nichtzugehörigkeit/Ultrafilter/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}F$ ein topologischer Filter auf ${}X$, ${}T\subseteq X$ eine offene Teilmenge und ${}T\notin F$.

1. Zeige, dass das Mengensystem

   ${\left\{U\mid U\subseteq X{\text{ offen}},\,{\text{es gibt }}V\in F{\text{ mit }}V\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq U\right\}}$

   ein Filter auf ${}X$ ist, der ${}X\setminus T$ enthält und ${}T$ nicht enthält.

2. Zeige mit Hilfe des Lemmas von Zorn, dass es einen Ultrafilter ${}G$ mit ${}F\subseteq G$ und mit ${}T\notin G$ gibt.

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