Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Überdeckungskompakt und folgenkompakt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $X$ kompakt und sei eine Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegeben.  Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. Das bedeutet, dass es zu jedem  $y\in X$  eine offene Umgebung  $y\in U_y$  gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen

$X=\bigcup _{y\in X}{U}_y$

gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung

$X=\bigcup _{i=1}^n{U}_{y_i}.$

 Diese enthält einerseits alle Folgenglieder und andererseits nur endlich viele Folgenglieder, ein Widerspruch.

Es sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da $X$ eine abzählbare Basis besitzt, gibt es nach Aufgabe eine abzählbare Teilmenge  $J\subseteq I$  mit

$X=\bigcup _{i\in J}{U}_i.$

Wir können  $J=\mathbb{N}$  annehmen.  Nehmen wir an, dass die Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{U}_i$  keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dann ist insbesondere  $\bigcup _{i=0}^n{U}_i\ne X$  für jedes  $n\in \mathbb{N}$  und daher gibt es zu jedem  $n\in \mathbb{N}$  ein $x_n\in X$ mit $x_n\in ̸\bigcup _{i=0}^n{U}_i$. Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt $x$. Da eine Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{U}_i$  vorliegt, gibt es ein  $k\in \mathbb{N}$  mit  $x\in U_k$.  Da $x$ ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in $U_k$. Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für  $n\ge k$  die Folgenglieder $x_n$ nicht zu $U_k$ gehören.

Zur bewiesenen Aussage