Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Überdeckungskompakt und folgenkompakt/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei kompakt und sei eine Folge gegeben.  Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. Das bedeutet, dass es zu jedem eine offene Umgebung gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung . Diese enthält einerseits alle Folgenglieder und andererseits nur endlich viele Folgenglieder, ein Widerspruch.

Sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da eine abzählbare Basis besitzt, gibt es nach Aufgabe eine abzählbare Teilmenge mit . Wir können annehmen.  Nehmen wir an, dass die Überdeckung keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dann ist insbesondere , und daher gibt es zu jedem ein  mit . Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt . Da eine Überdeckung vorliegt, gibt es ein mit . Da ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in . Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für die Folgenglieder nicht zu gehören.