Topologischer Raum/Abzählbare offene Überdeckung/Sigmaendliches Maß/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und  ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  eine Überdeckung aus offenen Mengen, wobei ${}I$ abzählbar sei. Zeige folgende Aussagen.

a) Eine Teilmenge  ${}T\subseteq X$  ist genau dann eine Borelmenge, wenn ${}T\cap U_{i}$ eine Borelmenge ist für jedes  ${}i\in I$. 

b) Ein ${}\sigma$-endliches Maß ${}\mu$ ist durch die Einschränkungen  ${}\mu _{i}=\mu {|}_{U_{i}}$  eindeutig bestimmt.

c) Es sei für jedes  ${}i\in I$  ein ${}\sigma$-endliches Maß ${}\mu _{i}$ auf ${}U_{i}$ gegeben. Für jedes Paar  ${}i,j\in I$  sei

${}\mu _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\mu _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,.$

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes ${}\sigma$-endliches Maß auf ${}X$ mit  ${}\mu {|}_{U_{i}}=\mu _{i}$. 

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