Topologischer Raum/Noethersch/Quasikompakt/Fakt/Beweis

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Beweis

Zunächst ist in einem noetherschen Raum jede offene Teilmenge selbst noethersch. Für die Hinrichtung genügt es also zu zeigen, dass quasikompakt ist. Sei eine offene Überdeckung und angenommen, es gäbe keine endliche Teilüberdeckung. Dann kann man eine echt aufsteigende unendliche Kette von offenen Teilmengen der Form

mit endlich konstruieren. Sei umgekehrt jede offene Teilmenge quasikompakt und eine aufsteigende Kette gegeben. Dann ist

offen und quasikompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung. Dies bedeutet, dass es einen Index mit für alle gibt.