Topologischer Raum/Noethersch/Quasikompakt/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist in einem noetherschen Raum jede offene Teilmenge selbst noethersch. Für die Hinrichtung genügt es also zu zeigen, dass ${}X$ quasikompakt ist. Sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und angenommen, es gäbe keine endliche Teilüberdeckung. Dann kann man eine echt aufsteigende unendliche Kette von offenen Teilmengen der Form

${}V_{n}=\bigcup _{i\in I_{n}}U_{i}\,$

mit ${}I_{n}\subseteq I$ endlich konstruieren. Es sei umgekehrt jede offene Teilmenge quasikompakt und eine aufsteigende Kette ${}U_{k}\subseteq U_{k+1}$ gegeben. Dann ist

${}U=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }U_{k}\,$

offen und quasikompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung. Dies bedeutet, dass es einen Index ${}n$ mit ${}U_{n}=U_{k}$ für alle ${}k\geq n$ gibt.

Zur bewiesenen Aussage