Topologischer Raum/Noethersch/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt/Beweis
Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion über die abgeschlossenen Teilmengen von . Angenommen, nicht jede abgeschlossene Teilmenge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir
,
ohne eine solche Zerlegung. Diese Menge kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung
.
Da und echte Teilmengen von sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von , was ein Widerspruch ist.
Zur Eindeutigkeit. Seien
zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen (jeweils ohne Inklusionsbeziehung). Es ist
Da irreduzibel ist, muss
für ein sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument
für ein , woraus
und
folgt. Ebenso findet sich etc. in der Zerlegung rechts wieder, sodass die Zerlegung eindeutig ist.