Topologischer Raum/Normal/P-integrierbar/Stetige Funktionen mit kompakten Träger/Dicht/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}V$ der topologische Abschluss des Raumes der stetigen Funktionen mit kompakten Träger in ${}L^{p}(X)$ . Es ist ${}V=L^{p}(X)$ zu zeigen. Nach Fakt gehören die Indikatorfunktionen zu messbaren Mengen mit endlichem Maß dazu. Wegen der Vektorraumeigenschaft gehören auch die einfachen Funktionen mit einer Trägermenge mit endlichem Maß dazu. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.