Topologischer Raum/Maßraum/Teilmenge/Indikatorfunktion/Stetige Approximation/Fakt

Es sei ${}X$ ein normaler topologischer Raum und ${}\mu$ ein ${}\sigma$-endliches Maß auf den Borelmengen von ${}X$. Es sei ${}T$ eine messbare Teilmenge von ${}X$ mit ${}\mu (T)<\infty$.

Dann gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine stetige Funktion ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ mit einem kompakten Träger derart, dass

${}\mu {\left({\left\{x\in X\mid f(x)\neq e_{T}(x)\right\}}\right)}\leq \epsilon \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen