Topologischer Raum/Normal/Zweierüberdeckung/Diskrete Teilmenge/Randaufspaltung/Aufgabe/Lösung

1. Nehmen wir ${}P\in U\cap V$ an. Wegen ${}P\in {\overline {D}}$ und da ${}D$ in ${}U\cap V$ abgeschlossen ist folgt aber sofort ${}P\in D$.
2. Wir setzen

   ${}F_{1}={\left({\overline {D}}\setminus D\right)}\cap U\,$

   und

   ${}F_{2}={\left({\overline {D}}\setminus D\right)}\cap V\,,$

   die beiden Mengen sind disjunkt nach Teil (1). Wir zeigen, dass ${}F_{1}$ abgeschlossen ist, wobei wir die Offenheit des Komplementes nachweisen. Sei ${}Q\notin F_{1}$. Bei ${}Q\notin U$ ist ${}Q\in V$ und ${}V$ ist disjunkt zu ${}F_{1}$ nach Teil (1). Es sei also ${}Q\notin {\overline {D}}\setminus D$. Bei ${}Q\notin {\overline {D}}$ ist ${}X\setminus {\overline {D}}$ eine offene Umgebung des Punktes, die disjunkt zu ${}F_{1}$ ist. Es sei schließlich ${}Q\in D$. Dann ist ${}Q\in U\cap V$ und diese Menge ist disjunkt zu ${}{\overline {D}}\setminus D$.

3. Zu den disjunkten abgeschlossenen Teilmengen ${}F_{1},F_{2}$ aus Teil (2) gibt es wegen der Normalität auch disjunkte offene Umgebungen ${}F_{1}\subseteq W_{1}\subseteq U$ und ${}F_{2}\subseteq W_{2}\subseteq V$. Wir setzen

   ${}E_{1}=F_{1}\cup {\left(W_{1}\cap D\right)}\,$

   und

   ${}E_{2}=F_{2}\cup {\left({\left(X\setminus W_{1}\right)}\cap D\right)}\,.$

   Es ist zu zeigen, dass ${}E_{1}$ abgeschlossen ist (für ${}E_{2}$ ist das klar). Es sei ${}Q\in {\overline {W_{1}\cap D}}$. Dann ist insbesondere ${}Q\in {\overline {D}}$. Es sei zuerst ${}Q\in D$. Da ${}D$ diskret ist, ist ${}Q$ nicht im Abschluss ${}D\setminus \{Q\}$ und daher folgt auch ${}Q\in W_{1}$ und damit ${}Q\in E_{1}$. Es sei nun ${}Q\notin D$. Dann ist ${}Q\in F_{1}\cup F_{2}$. Wegen ${}E_{1}\subseteq W_{1}\subseteq X\setminus W_{2}$ und der Abgeschlossenheit von ${}X\setminus W_{2}$ folgt ${}Q\in F_{1}\subseteq E_{1}$.

4. Wir setzen ${}D_{1}=E_{1}\cap D$ und ${}D_{2}=E_{2}\cap D$. Aus ${}{\overline {D_{1}\cup D_{2}}}={\overline {D_{1}}}\cup {\overline {D_{2}}}$ und

   ${}{\overline {D_{1}}}\subseteq E_{1}\,$

   wegen der Abgeschlossenheit folgt die Aussage.

Zur gelösten Aufgabe