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Topologischer Raum/Normal/Zweierüberdeckung/Diskrete Teilmenge/Randaufspaltung/Aufgabe

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Es sei eine offene Überdeckung eines normalen topologischen Raumes und sei eine in abgeschlossene Teilmenge. Wir betrachten den Abschluss von in . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Ein Punkt gehört entweder zu oder zu .
  2. Die Menge besitzt eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen

    mit und .

  3. Es sei nun zusätzlich diskret. Dann besitzt eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen

    mit und .

  4. Im diskreten Fall besitzt eine Zerlegung

    mit und .