Topologischer Raum/Prägarbe/Ausbreitungsraum/Lokaler Homöomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen zunächst, dass in der Tat durch die Mengen

${}(U,s)={\left\{(x,s_{x})\mid x\in U\right\}}\,$

eine Basis der Topologie vorliegt. Dazu ist zu zeigen, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung von solchen Mengen ist. Es sei also  ${}(x,r)\in (U,s)\cap (V,t)$  mit  ${}r\in {\mathcal {G}}_{x}$  und  ${}s\in {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$  bzw.  ${}t\in {\mathcal {G}}{\left(V\right)}$.  Hierbei gilt  ${}x\in U\cap V$.  Da ${}s$ und ${}t$ beide auf ${}r$ einschränken, gibt es eine offene Umgebung  ${}x\in W\subseteq U\cap V$,  auf der ${}s$ und ${}t$ gleich werden. Deshalb gilt

${}(x,r)\in (W,s)\subseteq (U,s)\cap (V,t)\,.$

Die Projektion ${}p$ ist stetig, da das Urbild von  ${}U\subseteq X$  offen gleich ${}\bigcup _{s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}(U,s)$ ist. Sei  ${}(x,r)\in {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }$  ein Punkt des Ausbreitungsraumes. Der Keim wird repräsentiert durch einen Schnitt  ${}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$  und somit gilt  ${}(x,r)\in (U,s)$.  Wir behaupten, dass ${}p\colon (U,s)\rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist. Die Surjektivität ergibt sich aus ${}(x,s_{x})\mapsto x$. Wenn ${}(x,r)$ und ${}(x',r')$ zu ${}(U,s)$ gehören und beide auf den gleichen Punkt unter ${}p$ abbilden, so ist zunächst  ${}x=x'$  und dann auch  ${}r=r'$,  da ja beide Keime die Einschränkung von ${}s$ sind. Die Stetigkeit der Umkehrabbildung ergibt sich daraus, dass die offenen Teilmengen von ${}(U,s)$ die Form ${}(U',s{|}_{U'})$ mit offenen Teilmengen  ${}U'\subseteq U$  besitzen und deren Bild gleich ${}U'$ ist.

Zur bewiesenen Aussage