Torricelli/Ausflussgesetz/Differentialgleichung/Aufgabe

Ein zylindrischer Behälter (eine Tonne) enthält Wasser mit der Anfangshöhe ${}h$ und am Boden eine Ausflussmöglichkeit. Nach dem Ausflussgesetz von Torricelli gilt für den Ausfluss (gemessen in Ausflussmenge pro Zeiteinheit, ${}c$ ist eine positive Konstante)

${}v(t)=-c{\sqrt {h(t)}}\,.$

Dabei ist die Ausflussgeschwindigkeit proportional zur Höhenänderung des Wasserstandes, also ${}h'(t)=dv(t)$ mit einer weiteren positiven Konstanten ${}d$.

1. Bestimme eine Differentialgleichung für die Höhenfunktion ${}h(t)$.
2. Löse diese Differentialgleichung für die Parameter ${}c=d=1$ und die Anfangshöhe ${}1$ Meter, wenn der Ausflussprozess zum Zeitpunkt ${}t=0$ startet.
3. Wann ist die Tonne leer?

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