Torricelli/Ausflussgesetz/Differentialgleichung/Aufgabe/Lösung

1. Es ist direkt

   $h^{\prime }(t)=dv(t)=-cd\sqrt{h(t)}.$

2. Es handelt sich um die zeitunabhängige Differentialgleichung

   $h^{\prime }=-\sqrt{h}=-h^{\frac{1}{2}}.$

   Eine Stammfunktion von $-h^{-\frac{1}{2}}$ ist $-2h^{\frac{1}{2}}$, aus dem Ansatz

   $z=-2h^{\frac{1}{2}}$

   ergibt sich die Umkehrfunktion

   $h=\frac{z^2}{4}.$

   Daher sind die Lösungen gleich ($z$ ist negativ)

   $h(t)=\frac{(-t-\alpha {)}^2}{4}.$

   Aus der Anfangsbedingung

   $h(0)=\frac{{\alpha }^2}{4}=1$

   folgt

   $\alpha =-2$

   (es ist das negative Vorzeichen zu wählen, da die Höhe positiv sein muss). Die Lösungsfunktion ist also

   $h(t)=\frac{(2-t{)}^2}{4},$

   wobei dies ab  $t\ge 0$  bis zu dem Zeitpunkt gilt, wo die Tonne leer wird.

3. Die Tonne ist bei  $t=2$  leer.

Zur gelösten Aufgabe