Torricelli/Ausflussgesetz/Differentialgleichung/Aufgabe/Lösung

1. Es ist direkt

   ${}h'(t)=dv(t)=-cd{\sqrt {h(t)}}\,.$

2. Es handelt sich um die zeitunabhängige Differentialgleichung

   ${}h'=-{\sqrt {h}}=-h^{\frac {1}{2}}\,.$

   Eine Stammfunktion von ${}-h^{-{\frac {1}{2}}}$ ist ${}-2h^{\frac {1}{2}}$, aus dem Ansatz

   ${}z=-2h^{\frac {1}{2}}\,$

   ergibt sich die Umkehrfunktion

   ${}h={\frac {z^{2}}{4}}\,.$

   Daher sind die Lösungen gleich (${}z$ ist negativ)

   ${}h(t)={\frac {(-t-\alpha )^{2}}{4}}\,.$

   Aus der Anfangsbedingung

   ${}h(0)={\frac {\alpha ^{2}}{4}}=1\,$

   folgt

   ${}\alpha =-2\,$

   (es ist das negative Vorzeichen zu wählen, da die Höhe positiv sein muss). Die Lösungsfunktion ist also

   ${}h(t)={\frac {(2-t)^{2}}{4}}\,,$

   wobei dies ab ${}t\geq 0$ bis zu dem Zeitpunkt gilt, wo die Tonnen leer wird.

3. Die Tonne ist bei ${}t=2$ leer.

Zur gelösten Aufgabe