a) Wir zeigen zunächst, dass die Abbildung in der Tat auf der Sphäre landet, d.h. wir müssen zeigen, dass die Summe der Quadrate der drei Einträge gleich ist. Ohne Berücksichtigung des Vorfaktors ist dies
c) Die Berechnung der Faser über dem Nordpol führt zu den Bedingungen
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Daher muss jeweils ein Faktor gleich sein. Bei
-
sind bei beliebigem beide Bedingungen erfüllt, ebenso sind bei
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und beliebigem beide Bedingungen erfüllt. Dabei ist wegen
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bzw. wegen
-
die dritte Komponente gleich . Bei
und
muss
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sein. Die verbleibende Möglichkeit ist
und
,
doch dabei ist die dritte Komponente gleich .
d) Der Winkel definiert den Punkt
-
auf dem durch
gegebenen Großreis. Der Nordpol und definieren den Halbierungspunkt
Der Bildpunkt wird auf dem Kreis mit Mittelpunkt platziert, der durch den Nordpol und verläuft und der ganz auf der Sphäre liegt. Daher muss auf der Ebene liegen, die durch
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und gegeben sind. Um mit der trigonometrischen Parametrisierung von arbeiten zu können, braucht man eine Orthonormalbasis, daher arbeiten wir mit
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Dies führt insgesamt auf