Torus/Produkt von zwei Kreisen/Beispiel

Das Produkt der Kreislinie mit sich selbst, also ${}M=S^{1}\times S^{1}$, heißt Torus. Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im ${}\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}$ realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im ${}\mathbb {R} ^{3}$ realisieren. Dazu seien ${}r$ und ${}R$ positive reelle Zahlen mit ${}0<r<R$. Dann ist die Menge

${\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}$

ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines (aufgeblasenen) „Fahrradschlauches“, dessen „Radradius“ gleich ${}R$ und dessen „Schlauchradius“ gleich ${}r$ ist (das Rad liegt in der $x-y$-Ebene). Der Zusammenhang mit dem Produkt ${}S^{1}\times S^{1}$ ergibt sich, indem man dem Produktwinkel ${}(\varphi ,\psi )$ den Punkt ${}((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$ zuordnet.