Torus/Würfelmodell/Triangulierung/Euler-Poincare-Charakteristik/Beispiel

Wir realisieren einen Torus durch ${}8$ gleiche Würfel, die wir ringförmig um einen nichtvorhandenen neunten Würfel legen. Dieses geometrische Objekt hat eine Überdeckung mit Quadratflächen, die wir in Dreiecke halbieren können, um eine Triangulierung zu erhalten. Da sich aber bei einer solchen einzelnen Halbierung die Flächenanzahl um ${}1$ erhöht, eine Kante hinzukommt und die Anzahl der Eckpunkte unverändert bleibt, können wir die Euler-Poincaré-Charakteristik auch direkt mit der gegebenen Zerlegung in Quadrate berechnen. Es gibt ${}32$ Ecken, ${}64$ Kanten (oben hat man ${}12$ am äußeren Rand, ${}4$ innen und ${}8$ dazwischen, an den Seiten außen hat man ${}12$ und innen ${}4$) und ${}32$ Quadrate (${}8$ oben und ${}8$ unten, ${}12$ außen und ${}4$ innen). Also ist

${}\chi (X)=32-64+32=0\,.$