Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Fakt/Beweis

Beweis

Bei ${}P=Q$ ist nichts zu zeigen, sei also ${}P\neq Q$ . Wir betrachten die Abbildung

h\colon [0,\Vert {Q-P}\Vert ]\longrightarrow W,\,t\longmapsto \varphi {\left(P+t{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\right)}.

Da nach Voraussetzung ${}P+t{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\in G$ ist, ist dies eine differenzierbare Kurve in ${}W$ . Daher gibt es nach der Mittelwertabschätzung für Kurven ein ${}c\in [0,\Vert {Q-P}\Vert ]$ mit

{}{\begin{aligned}\Vert {\varphi (P)-\varphi (Q)}\Vert &\leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {h'(c)}\Vert \\&=\Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {{\left(D\varphi \right)}_{P+c{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}}{\left({\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\right)}}\Vert \\&=\Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {\left(D\varphi \right)_{P+c{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}}}\Vert \cdot \Vert {\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}\Vert \\&\leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot \Vert {\left(D\varphi \right)_{P+c{\frac {Q-P}{\Vert {Q-P}\Vert }}}}\Vert \\&\leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot b.\end{aligned}}