Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Fakt

Mittelwertabschätzung

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume, ${}G\subseteq V$ sei offen und enthalte mit je zwei Punkten die Verbindungsstrecke. Es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine differenzierbare Abbildung und es gelte

${}\Vert {\left(D\varphi \right)_{P}}\Vert \leq b\,$

für alle ${}P\in G$.

Dann gilt für ${}P,Q\in G$ die Abschätzung

${}\Vert {\varphi (Q)-\varphi (P)}\Vert \leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot b\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen