Totales Differential/R/Kettenregel/Eindimensional/Aufgabe/Kommentar

Tatsächlich ist es sehr hilfreich, sich einmal genau klar zu machen, in welchem Sinne die allgemeine Kettenregel die Kettenregel für univariate Funktionen verallgemeinert. Dazu nehmen wir offene Teilmengen ${}G,D\subseteq \mathbb {R}$ und Abbildungen ${}\varphi \colon G\to \mathbb {R}$, ${}\psi \colon D\to \mathbb {R}$. Außerdem müssen wir voraussetzen, dass ${}\varphi (G)\subseteq D$ gilt, damit wir sinnvoll von der Verknüpfung ${}\psi \circ \varphi$ sprechen können. Des Weiteren fixieren wir einen Punkt ${}P\in G$, sodass ${}\varphi$ im Punkt ${}P$ und ${}\psi$ im Punkt ${}\varphi (P)$ total differenzierbar sind.

Nun sind alle Voraussetzungen für die allgemeine Kettenregel erfüllt, sodass also

$(D(\psi \circ \varphi ))_{P}=(D\psi )_{\varphi (P)}\circ (D\varphi )_{P}$

für das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi$ gilt. Das totale Differential ist eine lineare Abbildung – hier werden also zwei lineare Abbildungen miteinander verknüpft.

Gleichzeitig sind ${}\varphi ,\psi$ Funktionen in einer Variablen, sodass im Punkt ${}P$ für die Ableitung

$(\psi \circ \varphi )'(P)=\psi '(\varphi (P))\cdot \varphi '(P)$

gilt. Dieser Ausdruck sieht schon sehr ähnlich aus wie die allgemeine Kettenregel, ist aber strukturell anders. Hier steht nicht die Verknüpfung von linearen Abbildungen, sondern ein Produkt von zwei reellen Zahlen.

Wir erinnern uns an Fakt zurück. Danach können wir die Ableitung ${}\varphi '(P)$ in einem Punkt ${}P$ in Beziehung setzen mit einer linearen Abbildung – der linearen Approximation von ${}\varphi$ in ${}P$. Diese lineare Abbildung ist gegeben durch die Zuordnung ${}x\mapsto \varphi '(P)\cdot x$. Es ist also die lineare Funktion, deren Steigung ${}\varphi '(P)$ ist. Dies ist nicht die Tangente von ${}\varphi$ in ${}P$, aber ist zur Tangente parallel. Das totale Differential stimmt per Definition mit dieser linearen Abbildung überein, sodass also ${}(D\varphi )_{P}(x)=\varphi '(P)x$ gilt.

Für das totale Differential der Verknüpfung gilt nun

$(D(\psi \circ \varphi ))_{P}(x)=(\psi \circ \varphi )'(P)\cdot x$

sowie

$((D\psi )_{\varphi (P)}\circ (D\varphi )_{P})(x)=(D\psi )_{\varphi (P)}((D\varphi )_{P}(x))=(D\psi )_{\varphi (P)}(\varphi '(P)x)=\psi '(\varphi (P))\cdot \varphi '(P)\cdot x.$

Diese beiden linearen Funktionen müssen nach der allgemeinen Kettenregel übereinstimmen. Durch Vergleich der Steigungen erhalten wir genau die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen.

Zur kommentierten Aufgabe