Differenzierbar/D in R/Linear Approximierbar/Fakt

Es sei  ${}D\subseteq \mathbb {R}$  eine Teilmenge,  ${}a\in D$  ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion.

Dann ist ${}f$ in ${}a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein  ${}s\in \mathbb {R}$  und eine Funktion

$r\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

gibt mit ${}r$ stetig in ${}a$ und  ${}r(a)=0$  und mit

${}f(x)=f(a)+s\cdot (x-a)+r(x)(x-a)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen