Transformationsformel/Asphalt und Mittelstreifen/Beispiel

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Es soll eine Straße in der Ebene der Breite asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve

bestimmt ist. Dabei sei zweimal stetig differenzierbar und regulär. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung

parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll.

Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist

Die Determinante davon ist

Daher ist die Asphaltfläche nach der Transformationsformel und nach Fakt gleich