Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt

Es seien $(M,𝒜,\mu )$ und $(N,ℬ,\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume und es seien $f:M\to \overline{ℝ}$ und $g:N\to \overline{ℝ}$ integrierbare Funktionen.

Dann ist auch die Funktion

$fg:M\times N⟶\overline{ℝ},(x,y)⟼f(x)\cdot g(y),$

integrierbar und es gilt

${\int }_{M\times N}fgd(\mu \otimes \nu )={\int }_{M}fd\mu \cdot {\int }_{N}gd\nu .$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen