Transzendente Matrix/Symmetrische Potenz/Lineare Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Die symmetrische Potenz der Matrix beschreibt die durch die lineare Abbildung induzierte Abbildung des Polynomrings auf sich selbst im Grad . Der Eintrag in der Zeile und Spalte ist also der Koeffizient zu von

Die -te Potenz ist nach dem Multinomialsatz

Um den Koeffizienten zu des gesamten Produktes zu bestimmen, muss man die Einzelprodukte der Form

(mit Vorfaktoren) mit

betrachten. Da die Variablen sind, lässt sich aus dem Monom das Mehrfachtupel rekonstruieren. Dieses legt als Summe und auch über fest. Dies bedeutet, dass jedes in der symmetrischen Potenz einer Variablenmatrix nur in einem Eintrag vorkommt. In Charakteristik sind die Binomialkoeffizienten nicht , daher sind sämtliche Einträge der symmetrischen Potenz linear unabhängig.

Zur bewiesenen Aussage