Trigonalmatrix/Charakteristisches Polynom/Eigenwerte/Beispiel

Für eine obere Dreiecksmatrix

${}M={\begin{pmatrix}d_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&d_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}\,$

ist das charakteristische Polynom nach Fakt gleich

${}\chi _{M}=(X-d_{1})(X-d_{2})\cdots (X-d_{n})\,.$

In diesem Fall liegt das charakteristische Polynom direkt in der Zerlegung in lineare Faktoren vor, sodass unmittelbar seine Nullstellen und damit die Eigenwerte von ${}M$ ablesbar sind, nämlich die Diagonalelemente ${}d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n}$ (die nicht alle verschieden sein müssen).