Tschebyschow-Polynom/Nullstellen/Maxima/Fakt

Die Tschebyschow-Polynome ${}T_{n}$ erfüllen im Reellen die folgenden Eigenschaften.

1. Das Bild von ${}[-1,1]$ unter ${}T_{n}$ liegt in ${}[-1,1]$.
2. ${}T_{n}$ besitzt die ${}n$ reellen Nullstellen ${}\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right)$, ${}k=1,\ldots ,n$, die alle in ${}[-1,1]$ liegen. Diese Nullstellen sind einfach und ${}T_{n}$ besitzt (auch in ${}{\mathbb {C} }$) keine weiteren Nullstellen.
3. Die Extrema von ${}T_{n}$ auf ${}[-1,1]$ werden in den Punkten ${}\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right)$, ${}k=0,\ldots ,n$, mit den Werten ${}(-1)^{k}$ angenommen. Für ${}k=1,\ldots ,n-1$ sind dies die lokalen Extrema von ${}T_{n}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen