Umkehrabbildung/R^3 nach R^3/Polynomial/1/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
- Die Jacobi-Matrix ist
- Die Determinante der Jacobi-Matrix ist über Entwicklung nach der ersten Zeile gleich
- Die Determinante der Jacobi-Matrix im Punkt ist
Die Jacobi-Matrix ist also in diesem Punkt bijektiv und daher besitzt die Abbildung nach Fakt in diesem Punkt lokal eine Umkehrabbildung.
- Die Determinante der Jacobi-Matrix ist im Nullpunkt gleich , das hilft nicht weiter. Betrachten wir Punkte der Form und . Diese werden beide auf abgebildet und somit ist die Abbildung auf keiner beliebig kleinen offenen Umgebung des Nullpunkts injektiv. Es gibt also keine lokale Umkehrabbildung.
- Die erste Komponente führt auf , also oder . Bei wäre aber der Wert der zweiten Komponente, , negativ, sodass so kein Urbild aussehen kann. Also ist . Wegen der dritten Komponente ist daher . Deshalb muss sein. Der Punkt wird in der Tat auf abgebildet.