Umkehrabbildung/R^3 nach R^3/Polynomial/1/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (xy,x-z^{2},y^{3}+xz).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}f$.
2. Berechne die Determinante der Jacobi-Matrix in Abhängigkeit von ${}(x,y,z)$.
3. Besitzt ${}f$ im Punkt ${}(2,-1,-2)$ lokal eine Umkehrabbildung?
4. Besitzt ${}f$ im Punkt ${}(0,0,0)$ lokal eine Umkehrabbildung?
5. Zeige, dass es genau einen Punkt ${}(x,y,z)$ mit

   ${}f(x,y,z)=(0,1,0)\,$

   gibt.

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