Umkehrbarkeit/(x,y) nach (x+y,xy)/Nicht lokal invertierbar auf Diagonale/Aufgabe

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy).$

1. Bestimme die regulären Punkte von ${}\varphi$.
2. Zeige, dass in den kritischen Punkten die Abbildung ${}\varphi$ nicht lokal invertierbar ist, dass also die Einschränkung von ${}\varphi$ in keiner offenen Umgebung eines kritischen Punktes bijektiv wird.
3. Lässt sich jedes reelle Zahlenpaar ${}(s,p)$ als ${}(s,p)=(x+y,xy)$ schreiben?
4. Ist ein reelles Zahlenpaar ${}(x,y)$ bis auf Vertauschen der Komponenten eindeutig durch die Summe ${}x+y$ und das Produkt ${}xy$ festgelegt?

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