Uneigentliches Integral/0 bis 1/1 durch t^n/n ganzzahlig/Beispiel

Es sei ${}f(t)=t^{n}$ mit ${}n$ negativ und ganzzahlig. Wir interessieren uns für die uneigentlichen Integrale für ${}t$ von ${}0$ bis ${}1$. Dabei ist die Funktion bei der Intervallgrenze ${}0$ nicht definiert, das ist also der kritische Randpunkt. Bei ${}n=-1$ ist ${}\ln x$ die Stammfunktion von ${}1/x$. Daher ist

${}\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=-\ln x\,,$

und der Grenzwert für ${}x\mapsto 0$ existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht.

Es sei nun ${}n\leq -2$. Dann ist ${}{\frac {1}{n+1}}t^{n+1}$ eine Stammfunktion zu ${}t^{n}$ und daher ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left(\int _{x}^{1}t^{n}\,dt\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{n+1}}t^{n+1}|_{x}^{1}\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {x^{n+1}}{n+1}}\right)}\,.$

Da es sich um eine negative Potenz von ${}x$ handelt, ist ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,x^{n+1}=\infty$. Das uneigentliche Integral existiert also nicht.