Uneigentliches Integral/0 bis 1/t^c/Beispiel

Es sei  $f(t):=t^c$  mit  $c\in ℝ$.  Wir interessieren uns für die uneigentlichen Integrale zu $f$ für $t$ von $0$ bis $1$. Dabei ist die Funktion bei der Intervallgrenze $0$ (bei negativem $c$) nicht definiert, das ist also der kritische Randpunkt. Bei  $c=-1$  ist $\ln t$ eine Stammfunktion von $1/t$. Daher ist

${\int }_x^1\frac{1}{t}dt=-\ln x,$

und der Grenzwert für $x\to 0$ existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht.

Es sei nun  $c<-1$.  Dann ist $\frac{1}{c+1}{t}^{c+1}$ eine Stammfunktion zu $t^c$ und daher ist

${\lim }_{x\to 0}\left({\int }_x^1{t}^{c}dt\right)={\lim }_{x\to 0}\left(\frac{1}{c+1}{t}^{c+1}{|}_x^1\right)={\lim }_{x\to 0}(\frac{1}{c+1}-\frac{x^{c+1}}{c+1}).$

Da es sich rechts um eine Potenz von $x$ mit einem negativen Exponenten handelt, ist  ${\lim }_{x\to 0}{x}^{c+1}=\mathrm{\infty }$  nach der inversen Version von Aufgabe.

Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Dies folgt übrigens auch aus Fakt, da ja  $t^{-1}\le t^c$  für  $c<-1$  und  $0<t\le 1$  gilt.

Es sei nun  $c>-1$.  Dann ist $\frac{1}{c+1}{t}^{c+1}$ eine Stammfunktion zu $t^c$ und daher ist

${\lim }_{x\to 0}\left({\int }_x^1{t}^{c}dt\right)={\lim }_{x\to 0}\left(\frac{1}{c+1}{t}^{c+1}{|}_x^1\right)={\lim }_{x\to 0}(\frac{1}{c+1}-\frac{x^{c+1}}{c+1}).$

Da es sich um eine Potenz von $x$ mit einem positiven Exponenten handelt, ist  ${\lim }_{x\to 0}{x}^{c+1}=0$  (nach Aufgabe). Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert $\frac{1}{c+1}$.