Uneigentliches Integral/1 bis unendlich/1 durch t^n/n ganzzahlig/Beispiel

Es sei ${}f(t)=t^{n}$ mit ${}n$ negativ und ganzzahlig. Wir interessieren uns für die uneigentlichen Integrale für ${}t$ von ${}1$ nach ${}\infty$. Bei ${}n=-1$ ist ${}\ln t$ die Stammfunktion von ${}1/t$. Daher ist

${}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\ln x\,,$

und der Grenzwert für ${}x\mapsto \infty$ existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Es sei nun ${}n\leq -2$. Dann ist ${}{\frac {1}{n+1}}t^{n+1}$ eine Stammfunktion zu ${}t^{n}$ und daher ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,(\int _{1}^{x}t^{n}\,dt)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,({\frac {1}{n+1}}t^{n+1}|_{1}^{x})=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,({\frac {x^{n+1}}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}})=-{\frac {1}{n+1}}\,,$

wegen ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,x^{n+1}=0$. Das uneigentliche Integral existiert also und es ist

$\int _{1}^{\infty }t^{n}\,dt=-{\frac {1}{n+1}}.$

Diese Zahl ist positiv, da ${}n\leq -2$ ist.