Uneigentliches Integral/t^x e^(-t)/Existenz/Beispiel

Es sei ${}x>-1$. Wir betrachten die Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{x}e^{-t}.$

Wir behaupten, dass das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

existiert. Für den rechten Rand (also ${}\infty$) betrachten wir eine natürliche Zahl ${}n\geq x$. Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion (siehe Aufgabe), gibt es ein ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ derart, dass ${}t^{n}e^{-{\frac {t}{2}}}\leq 1$ für alle ${}t\geq a$ gilt. Daher ist

${}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}t^{x}e^{-t}\,dt&\leq \int _{a}^{b}t^{n}e^{-t}\,dt\\&=\int _{a}^{b}t^{n}e^{-{\frac {t}{2}}}e^{-{\frac {t}{2}}}\,dt\\&\leq \int _{a}^{b}e^{-{\frac {t}{2}}}\,dt\\&=2{\left(e^{-{\frac {a}{2}}}-e^{-{\frac {b}{2}}}\right)}\\&\leq 2e^{-{\frac {a}{2}}}.\end{aligned}}$

Für ${}b\rightarrow \infty$ wächst das linke Integral und ist durch ${}2e^{-{\frac {a}{2}}}$ beschränkt, sodass der Grenzwert existiert. Für das Verhalten am linken Rand (das nur bei ${}-1<x\leq 0$ problematisch ist) müssen wir wegen ${}e^{-t}\leq 1$ nach Fakt nur ${}\int _{0}^{1}t^{x}\,dt$ betrachten. Eine Stammfunktion davon ist ${}{\frac {1}{x+1}}t^{x+1}$, deren Exponent positiv ist, sodass der Limes für ${}t\rightarrow 0$ existiert.