Uneigentliches Integral/t^x e^(-t)/Existenz/Beispiel

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Sei . Wir betrachten die Funktion

Wir behaupten, dass das uneigentliche Integral

existiert. Für den rechten Rand (also ) betrachten wir eine natürliche Zahl . Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion (siehe Aufgabe), gibt es ein derart, dass gilt für alle . Daher ist

Für wächst das linke Integral und ist durch beschränkt, so dass der Grenzwert existiert. Für das Verhalten am linken Rand (das nur bei problematisch ist) müssen wir wegen nach Fakt nur betrachten. Eine Stammfunktion davon ist , deren Exponent positiv ist, so dass der Limes für existiert.