Untere Halbkugel/Nullpunkt/Total differenzierbar/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$\varphi \colon {\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 1-{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}},$

deren Graph die untere Hälfte der Kugel mit Radius ${}1$ und Mittelpunkt ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ist. Wir interessieren uns, ob ${}\varphi$ im Nullpunkt ${}(0,0)$ total differenzierbar ist. Aus Symmetriegründen kommt als totales Differential nur die Nullabbildung in Frage. Es geht somit darum, ob für ${}v={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ gegen ${}0$ der Ausdruck

${}{\frac {\varphi (v)}{\Vert {v}\Vert }}={\frac {\varphi (x,y)}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,$

gegen ${}0$ konvergiert. Mit

${}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,$

ist dies

${\frac {1-{\sqrt {1-r^{2}}}}{r}}.$

Wir wenden darauf die Regel von l'Hospital an. Der abgeleitete Nenner ist ${}1$ und der abgeleitete Zähler ist

${\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}$

und konvergiert gegen ${}0$, sodass Konvergenz gegen ${}0$ vorliegt. Die Nullabbildung ist also in der Tat das totale Differential.