Untervektorräume/Dimensionsformel/Siebformel/Aufgabe

Aus der lineare Algebra ist die Formel

${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}+U_{2}\right)=\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\right)+\operatorname {dim} _{}\left(U_{2}\right)-\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\cap U_{2}\right)\,$

für Untervektorräume ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ bekannt, siehe Fakt, die an die Siebformel für zwei Mengen erinnert. Gilt für Untervektorräume ${}U_{1},U_{2},\ldots ,U_{n}\subseteq V$ die entsprechende Formel

${}\dim _{}{\left(U_{1}+U_{2}+\cdots +U_{n}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\dim _{}{\left(U_{J}\right)}\right)}\,,$

wobei

${}U_{J}=\bigcap _{j\in J}U_{j}$?

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