Untervektorraum/Dualraum/1/Beispiel

Wir betrachten den Untervektorraum

${}U=\langle {\begin{pmatrix}8\\6\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\7\\-3\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$

Der Orthogonalraum zu ${}U$ besteht aus allen Linearformen

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}f{\begin{pmatrix}8\\6\\5\end{pmatrix}}=0$ und ${}f{\begin{pmatrix}4\\7\\-3\end{pmatrix}}=0$. Da eine Linearform bezüglich der Standardbasis durch eine Zeilenmatrix ${}\left(a,\,b,\,c\right)$ gegeben ist, geht es um die Lösungsmenge des Gleichungssystems

${}8a+6b+5c=0\,,$

${}4a+7b-3c=0\,.$

Der Lösungsraum ist

${}U^{\perp }={\left\{s\left({\frac {17}{4}},\,1,\,-8\right)\mid s\in K\right\}}\,.$