Beweis
Es sei
wobei
durch die Polynome
auf dem affinen Raum
beschrieben werde, deren Jacobimatrix im Punkt
einen Rang
besitze. Entsprechend sei
wobei
durch die Polynome
auf dem affinen Raum
beschrieben werde, deren Jacobimatrix im Punkt
einen Rang
besitze. Dann beschreiben die Polynome
-
(wobei die
nur von den vorderen und die
nur von den hinteren Variablen abhängen)
die Produktvarietät
. Die Jacobimatrix zu
ist eine
Blockmatrix,
deshalb ist ihr Rang gleich der Summe der Einzelränge und insbesondere
. Die Dimension von
ist nach
Fakt
gleich
, daher erfüllen
insgesamt die Rangbedingung und
ist ein glatter Punkt.